Задание AB0F0C: Числа и их свойства

Расположим числа по возрастанию. Как и в других задачах такого типа, достаточно контролировать произведения двух наименьших и двух наибольших чисел.

а) Набор 7,9,10,11,12 подходит: 7·9=63>60, а 11·12=132<140.

б) Предположим, что чисел шесть. Если первое не больше 6, то второе не меньше 11; тогда два последних не меньше 14 и 15, их произведение больше 140. Если первое не меньше 7, то второе не меньше 9, а два последних не меньше 12 и 13; их произведение 156>140. В обоих случаях получено противоречие.

в) Набор 7,9,10,11 имеет сумму 37 и удовлетворяет 7·9>60, 10·11<140. Если первое число не больше 6, минимальный случай начинается с 6,11,12,13 и даёт сумму 42. Если первое не меньше 8, сумма четырёх различных чисел не меньше 8+9+10+11=38. Значит, 37 — наименьшая возможная сумма.

Упорядочим четыре числа x₁<x₂<x₃<x₄. Ограничения на произведения дают x₁x₂>60 и x₃x₄<140. Для пяти и шести чисел сравниваем произведения крайних пар и получаем невозможность шести, а пример пяти даёт существование.

Для минимальной суммы четырёх чисел сначала перебираем допустимое x₁. При x₁=1 второе число должно быть больше 60, что сразу увеличивает сумму; при x₁≥4 нижняя граница достигается набором, указанным в основном решении. Проверка всех соседних целых значений показывает, что меньшая сумма нарушает одно из двух произведений.

Ответ: а) да; б) нет; в) 37.