Задание 7CA5F3: Числа и их свойства

Сумма камней сохраняется и остатки разностей чисел в коробках по модулю 3 не меняются.

а) Последовательность из пяти ходов с переносом в третью коробку, пяти ходов с переносом в первую и ещё пяти ходов с переносом в третью приводит к (97;89;15).

б) Для (0;0;201) разность первой и третьей коробок имеет другой остаток по модулю 3.

в) При одном камне в первой коробке третья должна быть кратна 3, поэтому максимум не больше 198. Он достигается: 97 раз переносим в третью, 2 раза — в первую, 3 раза — в третью; получаем (1;2;198).

Каждый ход переносит одинаковое число камней из одной коробки в другую, поэтому общая сумма сохраняется. Кроме того, разность содержимого первой и третьей коробок меняется на число, кратное 3; это даёт инвариант по модулю 3.

Для верхней оценки в пункте в зафиксируем одно каменное содержимое первой коробки. Остальные два содержимых должны иметь определённые остатки по модулю 3, а их минимальные неотрицательные представители задают верхнюю границу для третьей коробки. Приведённая последовательность ходов достигает этой границы, поэтому оценка точна.

Ответ: а) да; б) нет; в) 198.