Задание A68DFB: Числа и их свойства

Заменяя одно число другим в четвёрке, получаем, что разность любых двух чисел делится на 4. Тот же приём для пятёрок даёт делимость на 5. Следовательно, все числа имеют один остаток по модулю 20. Так как 403≡3 по модулю 20, остаток каждого числа равен 3.

а) 2013≡13 по модулю 20, поэтому числа 403 и 2013 не могут быть в одном наборе.

б) Квадрат по модулю 20 не может иметь остаток 3: по модулю 4 квадрат равен 0 или 1, а число с остатком 3 по модулю 20 имеет остаток 3 по модулю 4. Значит, квадрат натурального числа не может быть одним из чисел набора при наличии 403.

в) При наличии 1 и n² необходимо n²≡1 по модулю 20. Для n=2,…,8 остатки квадратов равны 4,9,16,5,16,9,4; единицы нет. При n=9 имеем 9²=81≡1. Набор 1,21,41,61,81,101,121,141,161,181 подходит. Ответ: 9.

Если заменить в выбранной четвёрке или пятёрке одно число другим, разность двух целых средних показывает, что разность любых двух чисел делится одновременно на 4 и на 5. Значит, все числа сравнимы по модулю 20. Число 403 задаёт остаток 3.

Остаток 2013 по модулю 20 равен 13, поэтому пункт а невозможен. Квадрат числа с остатком 3 имеет остаток 9, а не 3, что даёт пункт б. Для пункта в требуется n²≡1 по модулю 20; значения 2,3,4,5 не подходят, а 9²−1 делится на 20. Числа 1 и 81 показывают достижимость.