Задание A0A7EB: Числа и их свойства

а) За семь дней можно записать соответственно: 20 единиц; 18 единиц и 3; 16 единиц и две тройки; …; 8 единиц и шесть троек. Количество чисел ежедневно уменьшается на 1, а суммы 20,21,…,26 возрастают. Значит, n может быть больше 6.

б) В первый день запишем 199 двоек и 1: всего 200 чисел с суммой 399, поэтому среднее меньше 2. В следующие дни запишем: 195 пятёрок, 3,3,1,1; затем 195 пятёрок, 5,3,1; затем 195 пятёрок, 5,5. Количества равны 199,198,197, а суммы — 983,984,985. Общее среднее равно 3351794>4, поэтому такой пример существует.

в) Пусть rᵢ — количество чисел в i-й день, sᵢ — их сумма. Из s₁=5 получаем r₁≤5. Для фиксированной строго убывающей последовательности rᵢ суммы должны удовлетворять 5=s₁<s₂<…<sₙ и sᵢ≤5rᵢ. Перебор возможных rᵢ при r₁≤5 даёт наибольшие общие суммы: 5 при r₁≤2; 15 при (3;2); 24 при (4;3;2); 34 при (5;4;3). Последнее значение достигается наборами 1,1,1,1,1; 3,3,4,4; 5,5,5. Ответ: а) да; б) да; в) 34.