Задание 5066E8: Числа и их свойства

а) Возьмём круговую расстановку 1,2,3,4,5,6,8,10,7,11,9,12. Модули соседних разностей равны 1,1,1,1,1,2,2,3,4,2,3,11; их сумма равна 32.

б) Обойдём круг в выбранном направлении и обозначим разности соседних чисел со знаками через d₁,…,d₁₂. Их сумма равна нулю. Поэтому сумма положительных dᵢ равна по модулю сумме отрицательных, а сумма |dᵢ| вдвое больше суммы положительных. Она всегда чётна, следовательно, 29 получить нельзя.

в) Сумма положительных скачков не больше суммы шести наибольших чисел минус суммы шести наименьших: (7+…+12)−(1+…+6)=36. Значит, общая сумма модулей не больше 72. Расстановка 1,7,2,8,3,9,4,10,5,11,6,12 чередует малые и большие числа; все положительные скачки в ней в сумме дают 36. Верхняя граница достигается. Ответ: 72.