Задание B5D110: Числа и их свойства

Пусть суммы групп A,B,C, а числа элементов a,b,c. После приписывания цифр новая сумма равна 10A+10B+C+a+8b.

а) Для групп {1},{2},{9} получаем 48=4·12. б) Увеличение в 18 раз невозможно: добавление цифры к любому натуральному числу даёт меньше 18 его величин.

в) Условие увеличения в 11 раз: A+B+10C=a+8b. Для p,q,r чисел минимальная левая часть при заданных p,q,r получается на наименьших различимых числах; отсюда p+q+r≤10. Равенство даёт {2}, {3,4,5,6,7,8,9,11}, {1}: A+B+10C=65=a+8b.

Если исходные суммы трёх групп обозначить A,B,C, а количества чисел — a,b,c, то приписывание цифр 1 и 8 увеличивает сумму на 10A+3a+10B+7b+C. Это выражение сравниваем с исходной суммой A+B+C.

При увеличении в 11 раз переносим исходную сумму в одну часть равенства и получаем линейное ограничение на A,B,C и количества элементов. Минимальные различные натуральные числа в каждой группе дают верхнюю границу числа элементов; указанная в основном решении конфигурация достигает её.

Ответ: а) да; б) нет; в) 10.