Задание 4B81D5: Числа и их свойства

Во всех трёх пунктах n=50. Любая сумма чисел, составленных из этих единиц, сравнима с 50 по модулю 9: каждое слагаемое имеет тот же остаток, что и количество его цифр.

а) Сумму 113 получить можно: берём семь слагаемых 11 и 36 отдельных единиц. Сумма равна 7·11+36=113, использовано 7·2+36=50 цифр.

б) Число 114 имеет остаток 6 по модулю 9, а 50 имеет остаток 5. Поэтому сумма 114 невозможна.

в) Для четырёхзначной суммы нельзя использовать слагаемые с пятью и более цифрами: каждое из них не меньше 11111. Пусть слагаемых 1111 ровно u. Если u≥9, девять таких слагаемых уже дают 9999 и используют 36 цифр; оставшиеся цифры обязательно добавят положительное число, так что сумма станет пятизначной. Поэтому u≤8.

Остальные слагаемые — 1, 11, 111. На каждую использованную в них цифру приходится не больше 37 единиц суммы, поскольку 1≤37, 11≤2·37, 111=3·37. Значит, вся сумма не больше 1111u+37(50−4u)=1850+963u≤9554.

Граница достигается при восьми слагаемых 1111 и шести слагаемых 111: использовано 8·4+6·3=50 цифр, а сумма 8·1111+6·111=9554. Она четырёхзначна, поэтому максимум найден.

Ответ: а) да; б) нет; в) 9554.