Задание 0FB969: Числа и их свойства

Общая масса равна 4·7+9·22=226 тонн. Масса любой группы имеет вид 7u+22v, где u и v целые, 0≤u≤4, 0≤v≤9. Если меньшая группа весит S, разность масс равна 226−2S.

а) Для разности 8 меньшая масса должна быть 109. Она достигается: 3·7+4·22=109. Остальные камни весят 7+5·22=117; разность 8 тонн. Значит, такое разбиение возможно.

б) При равных массах каждая группа весила бы 113 тонн. Из 7u+22v=113 по модулю 7 получаем v≡1 (mod 7), то есть v=1 или v=8. Первое даёт u=13>4, второе — u=−9<0. Оба недопустимы, равенство масс невозможно.

в) Разность масс чётна, поэтому меньше 6 положительными кандидатами являются только 2 и 4. Для разности 2 нужно S=112: тогда v≡0 (mod 7), возможны v=0 или 7, но они дают u=16 или −6. Для разности 4 нужно S=111: тогда v≡6 (mod 7), то есть v=6, а u=−3. Все варианты невозможны.

Разность 6 достигается: в одну группу берём пять камней по 22 тонны (110 тонн), в другую — оставшиеся четыре таких камня и все четыре камня по 7 тонн (116 тонн). Поэтому искомый минимум равен 6.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6 тонн.