Задание 2A4168: Числа и их свойства

Расположим числа по возрастанию: x₁<x₂<… . Достаточно проверять произведение двух наименьших и двух наибольших чисел: все остальные произведения лежат между ними.

а) Набор 6,8,9,10,11 подходит, потому что 6·8=48>45, а 10·11=110<120.

б) Предположим, что чисел шесть. Если x₁≤6, то из x₁x₂>45 следует x₂≥8, а потому x₅x₆≥11·12=132>120. Если x₁≥7, то x₂≥9, следовательно, x₅x₆≥12·13=156>120. В обоих случаях противоречие.

в) Набор 6,8,9,10 имеет сумму 33 и удовлетворяет условиям: 6·8=48>45, 9·10=90<120. Докажем, что меньше нельзя. При x₁≤5 имеем x₂≥10, x₃≥11, x₄≥12, поэтому сумма не меньше 1+10+11+12=34. При x₁≥6 минимально возможны x₁=6, x₂=8, x₃=9, x₄=10, и сумма равна 33. Ответ: 33.