Задание 002FC3: Числа и их свойства

а) Условие не требует, чтобы красное число не совпадало с зелёным. Запишем зелёными 29 чисел 3, 6, …, 90, кроме 42, а красным — 21. Каждое из 30 чисел кратно 3, зелёные между собой различны, и сумма равна 1395−42+21=1374<1395. Значит, это возможно.

б) Пусть красное число ровно одно. Тогда остальные 29 чисел — различные зелёные, то есть различные положительные кратные 3. Их наименьшая возможная сумма равна 3(1+2+…+29)=1305. Добавление положительного красного числа только увеличит сумму, поэтому 1067 получить нельзя.

в) Если красных чисел пять, зелёных 25. Наименьшая возможная сумма равна 7(1+…+5)+3(1+…+25)=105+975=1080>1067. Следовательно, красных нужно не менее шести. Шести достаточно: возьмём красными 7,14,21,28,42,49, а зелёными 3,6,…,66,72,75. Сумма красных равна 161, сумма зелёных равна 906, всего 1067. Ответ: 6.