Добавленные задачи — задачи с параметром

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(x+\ln (x+a)\right)}^2={\left(x-\ln (x+a)\right)}^2}$

имеет единственное решение на отрезке ${\displaystyle [0;1]}$.

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение ${\displaystyle 4^x+(a-6)2^x=(2+3\left|a\right|)2^x+(a-6)(3\left|a\right|+2)}$ имеет единственное решение.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, для каждого из которых уравнение ${\displaystyle {25}^x-(a+6)5^x=\left(5+3\left|a\right|\right)5^x-(a+6)\left(3\left|a\right|+5\right)}$ имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение ${\displaystyle \sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a}$ имеет ровно 3 решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(2x+a+1-\text{tg}x\right)}^2={\left(2x+a-1+\text{tg}x\right)}^2}$

имеет единственное решение на отрезке ${\displaystyle \left[0;\text{π}\right]}$.

Найдите все значения параметра ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение ${\displaystyle \sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a}$ имеет ровно 3 решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(2x+a+1+\text{tg}x\right)}^2={\left(2x+a-1-\text{tg}x\right)}^2}$

имеет единственное решение на отрезке ${\displaystyle \left[-\frac{\text{π}}{2};\frac{\text{π}}{2}\right]}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(2x+\ln (x+2a)\right)}^2={\left(2x-\ln (x+2a)\right)}^2}$

имеет единственный корень на отрезке ${\displaystyle [0;1]}$.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x{y}^2\text{}-3xy-3y+9\right)\sqrt{3-x}=\mathrm{0,}\\ y=ax\end{array}$

имеет ровно три различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \sqrt{2-3x}\cdot \ln \left(16x^2-a^2\right)=\sqrt{2-3x}\cdot \ln \left(4x+a\right)}$

имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}x+ay+a-2=\mathrm{0,}\\ x\left|y\right|+x-2=0\end{array}$

имеет единственное решение.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^4+y^2=a^2,\\ x^2+y=\left|2a-4\right|\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}y=\left|x-a\right|-\mathrm{4,}\\ 4\left|y\right|+x^2+8x=0\end{array}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4\left(a+1\right)x-2ay+5a^2+8a+3=\mathrm{0,}\\ y^2=x^2\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \sqrt{4x-1}\cdot \ln \left(x^2-2x+2-a^2\right)=0}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;1\right]}$.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?

б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}x+y=a,\\ \left|y\right|=\left|x^2-2x\right|\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система неравенств

${\displaystyle \{\begin{array}{l}2a\le x,\\ 6x>x^2+a^2,\\ x+a\le 6\end{array}}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке ${\displaystyle \left[4;5\right]}$.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$a{\left(x+\frac{4}{x}\right)}^2+2\left(x+\frac{4}{x}\right)-25a+10=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система

$\{\begin{array}{l}{2}^{\left|x\right|+3}+7\cdot \left|x\right|+1=8y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1\end{array}$

имеет единственное решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$x^2+a^2-x-7a=\left|7x-a\right|$

имеет ровно два различных корня.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-36.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?

б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек?

в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(4x+\left|x-a\right|-\left|3x+1\right|\right)}^2-\left(a+1\right)\left(4x+\left|x-a\right|-\left|3x+1\right|\right)+1=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\left(x+ay-5\right)\left(x+ay-5a\right)=\mathrm{0,}\\ x^2+y^2=16\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x^2-5x-y+3\right)\cdot \sqrt{x-y+3}=\mathrm{0,}\\ y=3x+a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

На столе лежит ${\displaystyle N}$ монет по 2 рубля и ${\displaystyle (1200-N)}$ монет по 5 рублей (${\displaystyle N}$ — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а) Может ли ${\displaystyle N}$ равняться 400?

б) Может ли ${\displaystyle N}$ равняться 600?

в) Сколько различных значений может принимать число ${\displaystyle N?}$ 

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система неравенств

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\left(x-1\right)\ge \mathrm{4,}\\ 2\sqrt{x-2}\ge a,\\ 3x<a+14\end{array}}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке ${\displaystyle \left[4;5\right]}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}y=\left(a+2\right)x^2+2ax+a-\mathrm{2,}\\ y^2=x^2\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x^2-5x-y+3\right)\cdot \sqrt{x-y+3}=\mathrm{0,}\\ y=ax+a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2+4x\right)\cdot \sqrt{2x+y+6}=\mathrm{0,}\\ y=ax-2a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$\left|x^2+a^2-6x+4a\right|=2x-2a$

имеет ровно два различных корня.

В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?

б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?

в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2+4x\right)\cdot \sqrt{2x+y+6}=\mathrm{0,}\\ y=x+a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$x_{\text{}}^4+{\left(a-3\right)}^2=\left|x-a+3\right|+\left|x+a-3\right|$

либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \left(5x-2\right)\cdot \ln \left(x+a\right)=\left(5x-2\right)\cdot \ln \left(2x-a\right)}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;1\right]}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$x^2+a^2+x-7a=\left|7x+a\right|$

имеет больше двух различных корней.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(\left|x-a-1\right|+\left|x-a+1\right|\right)}^2+a\left(\left|x-a-1\right|+\left|x-a+1\right|\right)+a^2-16=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-\left(4a+2\right)x+2a}$

на отрезке $\left[0;1\right]$ имеет ровно один корень.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-60.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?

б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}4x-y+a=\mathrm{0,}\\ 2\left|y\right|-x^2+4x=0\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(xy-2x+12\right)\cdot \sqrt{y-2x+12}=\mathrm{0,}\\ y=ax-10\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-45.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?

б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$\sqrt{7x-4}\cdot \ln \left(x^2-8x+17-a^2\right)=0$

имеет на отрезке $\left[0;4\right]$ ровно один корень.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(xy-2x+12\right)\cdot \sqrt{y-2x+12}=\mathrm{0,}\\ y=3x+a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система неравенств

${\displaystyle \{\begin{array}{l}ax\ge \mathrm{2,}\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\le 2a+11\end{array}}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке ${\displaystyle \left[3;4\right]}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система неравенств

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x\le 2a+\mathrm{6,}\\ 6x\ge x^2+a^2,\\ x+a>0\end{array}}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке ${\displaystyle \left[1;2\right]}$.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(3x+\left|x-a\right|+\left|2x+a+1\right|\right)}^2-a\left(3x+\left|x-a\right|+\left|2x+a+1\right|\right)+a^2-16=0$

имеет ровно один корень.

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \ln \left(4x-1\right)\cdot \sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;3\right]}$.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^4-y^4=12a-\mathrm{28,}\\ x^2+y^2=a\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$\left|x^2+a^2-6x-4a\right|=2x+2a$

имеет четыре различных корня.

Найдите все положительные значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=a,\\ y=\sqrt{x+4}\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \sqrt{x+2a}\cdot \ln \left(x-a\right)=\left(x-1\right)\cdot \ln \left(x-a\right)}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;1\right]}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \sqrt{2x-1}\cdot \ln \left(4x-a\right)=\sqrt{2x-1}\cdot \ln \left(5x+a\right)}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;1\right]}$.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?

б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(\left|x-a^2\right|+\left|x+1\right|\right)}^2-7\left(\left|x-a^2\right|+\left|x+1\right|\right)+4a^2+4=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(4x-3\left|x+a^2\right|+\left|x-1\right|+3a^2\right)}^2-\left(a+1\right)\left(4x-3\left|x+a^2\right|+\left|x-1\right|+3a^2\right)+4=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$\left(x+1\right)\cdot \left|x+1\right|=2x-a$

имеет ровно два различных корня.