Алгебраические модели — первая часть ЕГЭ по математике

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f=30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана $—$ в пределах от 160 см
до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$.

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=24\text{м/с}}$, начал торможение
с постоянным ускорением ${\displaystyle a=3{\text{м/с}}^2}$. За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал
90 метров. Ответ дайте в секундах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана$–$Больцмана, согласно которому $P=\text{σ}S{T}^4$, где $P$ $—$ мощность излучения звезды (в Вт), $\text{σ}=\mathrm{5,7}\cdot {10}^{-8}\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^2\cdot {\text{К}}^4}$ $—$ постоянная, $S$ $—$ площадь поверхности звезды (в ${\text{м}}^2$ ), а $T$ $—$ температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{256}\cdot {10}^{21}{\text{м}}^2$, а мощность её излучения равна $\mathrm{9,12}\cdot {10}^{26}\text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому ${\displaystyle P=\text{σ}S{T}^4\text{},}$ где ${\displaystyle P}$ — мощность излучения звезды (в Вт), ${\displaystyle \text{σ}=\mathrm{5,7}\cdot {10}^{-8}\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^2\cdot {\text{К}}^4}}$ — постоянная, ${\displaystyle S}$ — площадь поверхности звезды (в ${\displaystyle {\text{м}}^2}$), а ${\displaystyle T}$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна ${\displaystyle \frac{1}{2401}\cdot {10}^{22}{\text{м}}^2\text{},}$ а мощность её излучения равна ${\displaystyle \mathrm{5,7}\cdot {10}^{26}\text{Вт}\text{.}}$ Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой ${\displaystyle f_0=192\text{Гц}}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка ${\displaystyle f}$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза ${\displaystyle v}$ (в м/с) по закону ${\displaystyle f\left(v\right)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}}$ (Гц), где ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а ${\displaystyle c=300\text{м/с}}$. Ответ дайте в ${\displaystyle \text{м/с}}$.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=60\text{км/ч}}$, выезжает
из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=18{\text{км/ч}}^2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется
по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}}$, где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в часах, прошедшее после выезда
из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста
из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Сила тока ${\displaystyle I}$ (в А) в электросети вычисляется по закону Ома: ${\displaystyle I=\frac{U}{R}}$,
где ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle —}$ напряжение электросети (в В), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ сопротивление подключаемого электроприбора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает 5 А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть
у электроприбора, подключаемого к электросети с напряжением 220 В, чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет ${\displaystyle R_1=36}$Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого ${\displaystyle R_2}$ (в Ом).
При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями ${\displaystyle R_1}$ и ${\displaystyle R_2}$ их общее сопротивление ${\displaystyle R}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся
в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ 
(в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}$, где $f_0=160\text{Гц}$ $—$ частота исходного сигнала, $c$ $—$ скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а $u=8\text{м}/\text{}\text{с}$ и $v=11\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц? Ответ дайте в м/с.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся
в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}$, где $f_0=100\text{Гц}$ $—$ частота исходного сигнала, $c$ $—$ скорость распространения сигнала в среде (в м/с),
а $u=29\text{м}/\text{}\text{с}$ и $v=11\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости $c$ распространения сигнала в среде частота
сигнала $f$ в приёмнике будет равна 110 Гц? Ответ дайте в м/с.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295\text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит
от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f\left(v\right)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц),
где $c$ $—$ скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите,
с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз,
если человек смог различить сигналы, а $c=300\text{м/с}\text{.}$ Ответ дайте в $\text{м/с}\text{.}$

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=15\text{м/с}\text{,}}$ начал торможение с постоянным ускорением ${\displaystyle a=2{\text{м/с}}^2\text{}.}$ За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием ${\displaystyle f=36}$см. Расстояние ${\displaystyle d_1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние ${\displaystyle d_2}$ от линзы до экрана ${\displaystyle —}$ в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

${\displaystyle \frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}}$.

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ${\displaystyle h\left(t\right)=\mathrm{1,6}+13t-5t^2}$, где ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle —}$ высота в метрах, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться
на высоте не менее 6 метров?

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=60\text{км/ч}}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=32{\text{км/ч}}^2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}}$, где ${\displaystyle t}$ — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону ${\displaystyle H\left(t\right)=a{t}^2+bt+H_0}$, где ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle —}$ высота столба воды в метрах, ${\displaystyle H_0=8\text{м}}$ ${\displaystyle —}$ начальный уровень воды, ${\displaystyle a=\frac{1}{72}\text{м}/{\text{мин}}^2}$ 
и ${\displaystyle b=-\frac{2}{3}\text{м}/\text{мин}}$ ${\displaystyle —}$ постоянные, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле $v=с\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0},$ 
где $c=1500\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорость звука в воде,  $—$ частота испускаемых импульсов (в МГц),  $—$ частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала,
если скорость погружения батискафа равна 5 м/с. Ответ дайте в МГц.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

${\displaystyle T\left(t\right)=T_0+bt+a{t}^2\text{},}$

где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время (в мин.), ${\displaystyle T_0=1600\text{К}}$, ${\displaystyle a=-5\text{К}/{\text{мин}}^2\text{},}$ ${\displaystyle b=105\text{К}/\text{мин}}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону ${\displaystyle \text{φ}=\text{ω}t+\frac{\text{β}{t}^2}{2}}$,
где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, ${\displaystyle \text{ω}=15\text{град}./\text{мин}}$ ${\displaystyle —}$ начальная угловая скорость вращения катушки,
а ${\displaystyle \text{β}=6\text{град}./{\text{мин}}^2}$ ${\displaystyle —}$ угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки ${\displaystyle \text{φ}}$ достиг ${\displaystyle 2250°}$. Ответ дайте в минутах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала ${\displaystyle f}$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле ${\displaystyle f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}}$, где ${\displaystyle f_0=140\text{Гц}}$ ${\displaystyle —}$ частота исходного сигнала, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а ${\displaystyle u=15\text{м}/\text{}\text{с}}$ и ${\displaystyle v=14\text{м}/\text{}\text{с}}$ ${\displaystyle —}$ скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 150 Гц? Ответ дайте в м/с.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_1=21$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить тостер, сопротивление которого $R_2$ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть
не меньше 18 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление тостера. Ответ дайте в омах.

К источнику с ЭДС ${\displaystyle \text{ε}=180\text{В}}$ и внутренним сопротивлением ${\displaystyle r=1\text{Ом}}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением ${\displaystyle R}$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле ${\displaystyle U=\frac{\text{ε}R}{R+r}}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно ${\displaystyle 170\text{В}}$? Ответ дайте в омах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону ${\displaystyle \text{φ}=\text{ω}t+\frac{\text{β}{t}^2}{2}}$,
где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, ${\displaystyle \text{ω}=50\text{град}./\text{мин}}$ ${\displaystyle —}$ начальная угловая скорость вращения катушки,
а ${\displaystyle \text{β}=4\text{град}./{\text{мин}}^2}$ ${\displaystyle —}$ угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки ${\displaystyle \text{φ}}$ достиг ${\displaystyle 2500°}$. Ответ дайте в минутах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ${\displaystyle h\left(t\right)=\mathrm{1,4}+9t-5t^2}$, где ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle —}$ высота в метрах, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться
на высоте не менее 3 метров?

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=70\text{км/ч}\text{,}}$ выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=16{\text{км/ч}}^2\text{}.}$ Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2},}$ где ${\displaystyle t}$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 123 км. Ответ дайте в минутах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=90\text{км/ч}}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=16{\text{км/ч}}^2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2},}$ где ${\displaystyle t}$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

К источнику с ЭДС $\text{ε}=130\text{В}$ и внутренним сопротивлением $r=1\text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U=\frac{\text{ε}R}{R+r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $120\text{В}$? Ответ дайте в омах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 185 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле ,
где $c=1500\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорость звука в воде,  $—$ частота испускаемых импульсов (в МГц),  $—$ частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 20 м/с. Ответ дайте в МГц.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

${\displaystyle T\left(t\right)=T_0+bt+a{t}^2\text{},}$

где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время (в мин.), ${\displaystyle T_0=1380\text{К}}$, ${\displaystyle a=-15\text{К}/{\text{мин}}^2\text{},}$ ${\displaystyle b=165\text{К}/\text{мин}}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=23\text{м/с}\text{,}}$ начал торможение с постоянным ускорением ${\displaystyle a=2{\text{м/с}}^2\text{}.}$ За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте в секундах.