Показательные и логарифмические модели — первая часть ЕГЭ по математике

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха объёмом $V_1=80\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 20 880 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=7$ моль воздуха объёмом $V_1=64\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 36 540 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий ${\displaystyle \text{υ}=6}$ моль воздуха объёмом ${\displaystyle V_1=56\text{л}}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${\displaystyle V_2}$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле ${\displaystyle A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}}$, где ${\displaystyle \alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}}$ — постоянная, ${\displaystyle T=300\text{К}}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${\displaystyle V_2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 31 320 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=8$ моль воздуха при давлении
$p_1=20$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 27 840 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора ${\displaystyle C=5\cdot {10}^{-6}\text{Ф}\text{.}}$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением ${\displaystyle R=3\cdot {10}^6\text{Ом}\text{.}}$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе ${\displaystyle U_0=32\text{кВ}\text{.}}$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения  (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением ${\displaystyle t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}}$, где ${\displaystyle \alpha =\mathrm{1,5}}$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло
90 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону ${\displaystyle m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}}$, где ${\displaystyle m_0}$ — начальная масса изотопа (в мг), ${\displaystyle \tau }$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, ${\displaystyle T}$ — период полураспада
в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону ${\displaystyle m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}}$, где ${\displaystyle m_0}$ ${\displaystyle —}$ начальная масса изотопа, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время, прошедшее от начального момента, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха при давлении
$p_1=\mathrm{1,4}$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ 
(в атмосферах). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\text{α}=\mathrm{10,9}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29 430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=8\cdot {10}^{-6}\text{Ф}\text{.}$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=5\cdot {10}^6\text{Ом}\text{.}$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=56\text{кВ}\text{.}$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения  (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением $t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}$, где $\alpha =\mathrm{1,5}$ $—$ постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло
180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Водолазный колокол, содержащий ${\displaystyle \text{υ}=2}$ моль воздуха объёмом ${\displaystyle V_1=120\text{л}}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${\displaystyle V_2}$ (в л). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле ${\displaystyle A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}}$,
где ${\displaystyle \text{α}=\mathrm{8,7}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}}$ — постоянная, ${\displaystyle T=300\text{К}}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${\displaystyle V_2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 440 Дж. Ответ дайте в литрах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}\text{},$ где $m_0$ $—$ начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ $—$ время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ $—$ период полураспада
(в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 196 мг. Период его полураспада составляет 4 минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 49 мг.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}\text{},$ где $m_0$ $—$ начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ $—$ время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ $—$ период полураспада
(в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 20 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Водолазный колокол, содержащий  моль воздуха при давлении
$p_1=11$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 26 100 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха объёмом $V_1=16\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\text{α}=\mathrm{9,9}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 26 730 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=6$ моль воздуха при давлении
$p_1=\mathrm{2,5}$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ 
(в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\text{α}=\mathrm{5,75}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.