Планиметрия — ЕГЭ по математике, профильный уровень — страница 6

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $A{A}_1,$ $B{B}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются
в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $B{B}_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $A{A}_1$ в точке $K.$

а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_{1}H.$

б) Найдите отношение площадей треугольников $C_{1}HK$ и $ABC,$ если $AB=\mathrm{6,}$ $BC=\mathrm{4,}$ $AC=5.$

Две окружности касаются внутренним образом в точке ${\displaystyle A,}$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда ${\displaystyle BC}$ большей окружности касается меньшей в точке ${\displaystyle P.}$ Хорды ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ пересекают меньшую окружность
в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle M}$ соответственно.

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle KM}$ и ${\displaystyle BC}$ параллельны.

б) Пусть ${\displaystyle L}$ — точка пересечения отрезков ${\displaystyle KM}$ и ${\displaystyle AP.}$ Найдите длину отрезка ${\displaystyle AL,}$ если радиус большей окружности равен 34, а ${\displaystyle BC=32.}$ 

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB=BD.$ Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E.$ 
Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK.$

а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK.$

б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF,$ если $BD:DC=5:2.$

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N\text{},$ причём $AM:MC=1:\mathrm{2,}$ $BN:ND=1:3.$

а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4.$

б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}.$

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ,$ причём точка $P$ лежит на стороне $AD,$ а точка $Q$ $—$ на стороне $CD.$ На стороне $AD$ отмечена точка $M.$ Известно, что $AM=BP,$ $AB=BQ.$

а) Докажите, что $BM=PQ.$

б) Найдите площадь треугольника $APQ,$ если $AM=BP=\mathrm{8,}$ $AB=BQ=10.$

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$ 

а) Докажите, что $TH=ME.$

б) Найдите длину отрезка $EK,$ если $AB=5$ и $AC=6.$

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины  и  равнобедренного прямоугольного треугольника  
с прямым углом  лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая  вторично пересекает бо́льшую окружность
в точке , а прямая  вторично пересекает меньшую окружность в точке .

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите , если радиусы окружностей равны  и 15.

Окружность с центром ${\displaystyle O_1}$ касается оснований ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ и боковой стороны ${\displaystyle AB}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$. Окружность с центром ${\displaystyle O_2}$ касается сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle AD}$. Известно, что ${\displaystyle AB=10}$, ${\displaystyle BC=9}$, ${\displaystyle CD=30}$, ${\displaystyle AD=39}$.

а) Докажите, что прямая ${\displaystyle O_1{O}_2}$ параллельна основаниям трапеции ${\displaystyle ABCD}$.

б) Найдите ${\displaystyle O_1{O}_2}$.

Точка ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle —}$ середина боковой стороны ${\displaystyle CD}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$. На стороне ${\displaystyle AB}$ взяли точку ${\displaystyle K}$ так, что прямые ${\displaystyle CK}$ и ${\displaystyle AE}$ параллельны. Отрезки ${\displaystyle CK}$ и ${\displaystyle BE}$ пересекаются в точке ${\displaystyle O}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle CO=KO}$.

б) Найдите отношение оснований трапеции ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$, если площадь треугольника ${\displaystyle BCK}$ составляет ${\displaystyle \frac{9}{100}}$ площади трапеции ${\displaystyle ABCD}$.

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle M}$ и пересекает продолжение
стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle N}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AM=AN}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle CD:DN}$, если ${\displaystyle AB:BC=1:2}$, а ${\displaystyle \cos \angle BAD=\frac{2}{3}}$.

В равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в два раза больше основания ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что высота ${\displaystyle CH}$ трапеции разбивает основание ${\displaystyle AD}$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ точка пересечения диагоналей трапеции ${\displaystyle ABCD}$. Найдите расстояние от вершины ${\displaystyle C}$ до середины отрезка ${\displaystyle OD}$, если ${\displaystyle BC=16}$ и ${\displaystyle AB=10}$.

На сторонах ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ отмечены точки ${\displaystyle C_1}$, ${\displaystyle A_1}$ и ${\displaystyle B_1}$ соответственно, причём ${\displaystyle A{C}_1:C_{1}B=21:10}$, ${\displaystyle B{A}_1:A_{1}C=2:3}$, ${\displaystyle A{B}_1:B_{1}C=2:5}$. Отрезки ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$ пересекаются в точке ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что четырёхугольник ${\displaystyle AD{A}_1{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ параллелограмм.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если отрезки ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ перпендикулярны, ${\displaystyle AC=63}$, ${\displaystyle BC=25}$.