Планиметрия — ЕГЭ по математике, профильный уровень — страница 7

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $AD.$

а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=CO$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=1:2.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle A}$ равен ${\displaystyle 120°}$. Прямые, содержащие высоты ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle CN}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекаются в точке ${\displaystyle H}$. Точка ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AH=AO}$.

б) Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AHO}$, если ${\displaystyle BC=3}$, ${\displaystyle \angle ABC=15°}$.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию , касается её боковой стороны  в точке . Луч  вторично пересекает окружность в точке , а прямую  — в точке , причём , .

а) Докажите, что .

б) Найдите основания трапеции.