Планиметрия — ЕГЭ по математике, профильный уровень — страница 5

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины  и  равнобедренного прямоугольного треугольника  с прямым углом  лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая  вторично пересекает бо́льшую окружность в точке , а прямая  вторично пересекает меньшую окружность в точке .

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите , если радиусы окружностей равны 3 и 4.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=30°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=4\sqrt{3}}$.

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ касается сторон угла с вершиной ${\displaystyle N}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Отрезок ${\displaystyle BC}$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle ANB=2\angle ABC.}$ 

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle N}$ до прямой ${\displaystyle AB,}$ если известно, что ${\displaystyle AC=14}$ и ${\displaystyle AB=36.}$ 

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N,$ причём $AM:MC=1:\mathrm{2,}$ $BN:ND=1:3.$

а) Докажите, что $\cos \angle BAD=\frac{1}{5}$.

б) Найдите площадь ромба, если $MN=5.$

В прямоугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — середины гипотенузы ${\displaystyle AB}$ и катета ${\displaystyle BC}$ соответственно, точка ${\displaystyle K}$ отмечена на катете ${\displaystyle BC}$ так, что ${\displaystyle CK:KB=1:3.}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle AN=2KM.}$ 

б) Пусть ${\displaystyle P}$ — точка пересечения отрезков ${\displaystyle AN}$ и ${\displaystyle KM}$. Найдите длину отрезка прямой ${\displaystyle BP,}$ заключённого внутри треугольника ${\displaystyle ABC,}$ если ${\displaystyle AC=\mathrm{6,}}$ ${\displaystyle BC=8.}$ 

Окружность с центром $O$ касается катетов $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ в точках $M$ и $E$ соответственно, а его гипотенузы $—$
в точке $K.$ Отрезок $EH$ $—$ перпендикуляр к прямой $MK.$

а) Докажите, что прямые $CH$ и $EK$ параллельны.

б) Найдите отношение $CH:EK,$ если $AC=12$ и $BC=5.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=120°}$, ${\displaystyle \angle BCA=15°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=4\sqrt{3}}$.

Периметр треугольника ${\displaystyle ABC}$ равен 36. Точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ — середины сторон ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ соответственно. Отрезок ${\displaystyle EF}$ касается окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC.}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle AC=9.}$ 

б) Найдите площадь треугольника ${\displaystyle ABC,}$ если ${\displaystyle \angle ACB=90°.}$ 

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K.$

а) Докажите, что $\angle BKM=45°\text{}.$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK,$ если сторона $AB=2\sqrt{10}.$

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ 
в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что $\angle AEM=\angle CMK\text{}.$

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK\text{},$ если $AM:MC=1:4.$

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH.$

а) Докажите, что $\angle OAC=45°.$

б) Найдите длину отрезка $BC,$ если $BO=1$ и $AC=6.$