Планиметрия — ЕГЭ по математике, профильный уровень — страница 4

Высоты ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$ остроугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ пересекаются в точке ${\displaystyle H.}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle B{B}_1{C}_1=\angle BAH.}$ 

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC,}$ до стороны ${\displaystyle BC,}$ если ${\displaystyle B_1{C}_1=18}$ и ${\displaystyle \angle BAC=30°\text{}.}$ 

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ и пересекает продолжение
стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle K}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AE=AK}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle KE:BD}$, если ${\displaystyle \angle BAD=60°}$.

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3.$ Окружность, вписанная
в треугольник $ABC,$ касается отрезка $MN$ в точке $L.$

а) Докажите, что $AB+BC=4AC.$

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC,$ если $ML=\frac{9}{5}\text{},$ $LN=3.$

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ и пересекает сторону ${\displaystyle CD}$ 
в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AE=AK}$.

б) Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle CE=10}$, ${\displaystyle DK=9}$ и ${\displaystyle \cos \angle BAD=\mathrm{0,2}}$.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=120°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=6\sqrt{3}}$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD.$ 
Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L.$ На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E,$ что $AE=CE.$

а) Докажите, что $AL\cdot BC=AB\cdot AC.$

б) Найдите $EL,$ если $AC=\mathrm{8,}$ $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{1}{2}.$

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.

б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $AB=17$ и $AC=16.$ 

В остроугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle BAC}$ в два раза больше угла ${\displaystyle ABC\text{.}}$ Точка ${\displaystyle O}$ — центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC\text{.}}$ Окружность, описанная около треугольника ${\displaystyle AOC\text{},}$ пересекает отрезок ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle P\text{.}}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle AP=BP\text{.}}$ 

б) Найдите длину стороны ${\displaystyle BC\text{},}$ если ${\displaystyle AB=7\text{},}$ ${\displaystyle AC=4.}$ 

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC.$ Точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Окружность, описанная около треугольника $AOC,$ пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P.$

а) Докажите, что треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны.

б) Найдите длину стороны $AB,$ если $AC=\mathrm{2,}$ $BC=\sqrt{10}.$

В прямоугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точка ${\displaystyle M}$ лежит на катете ${\displaystyle AC}$, а точка ${\displaystyle N}$ лежит на продолжении катета ${\displaystyle BC}$ за точку ${\displaystyle C}$, причём ${\displaystyle CM=BC}$ и ${\displaystyle CN=AC}$.

а) Отрезки ${\displaystyle CP}$ и ${\displaystyle CQ}$ ${\displaystyle —}$ медианы треугольников ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle NCM}$ соответственно. Докажите, что прямые ${\displaystyle CP}$ и ${\displaystyle CQ}$ перпендикулярны.

б) Прямые ${\displaystyle MN}$ и ${\displaystyle AB}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K}$, а прямые ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle AN}$ ${\displaystyle —}$ 
в точке ${\displaystyle L}$. Найдите ${\displaystyle KL}$, если ${\displaystyle BC=1}$, а ${\displaystyle AC=5}$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=\mathrm{3,}$ $BC=DE=4.$

а) Докажите, что $AC=CE.$

б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD=6.$

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH.$

а) Докажите, что $\angle AOC=90°.$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $BO=7$ и $AC=16.$