Планиметрия — ЕГЭ по математике, профильный уровень — страница 3

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO,$ $CN=NO.$

а) Докажите, что точки $M,$ $O$ и $N$ лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение $AM:MB,$ если $AO=CO$ и $BC:AD=17:31.$

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая,
что $AM=MC.$

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит
на диагонали $AC.$

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB=\mathrm{5,}$ $BC=\mathrm{10,}$ $\angle BAD=60°\text{}.$

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ касается сторон угла с вершиной ${\displaystyle N}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Отрезок ${\displaystyle BC}$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая ${\displaystyle AC}$ параллельна биссектрисе угла ${\displaystyle ANB.}$ 

б) Найдите длину отрезка ${\displaystyle NO,}$ если известно, что ${\displaystyle AC=10}$ и ${\displaystyle AB=24.}$ 

В равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в три раза больше основания ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что высота ${\displaystyle CH}$ трапеции разбивает основание ${\displaystyle AD}$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины ${\displaystyle C}$ до середины диагонали ${\displaystyle BD}$, если ${\displaystyle AD=15}$ и ${\displaystyle AC=2\sqrt{61}}$.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ угол ${\displaystyle BAD}$ прямой. Окружность, построенная на большем основании ${\displaystyle AD}$ как на диаметре, пересекает меньшее основание ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle M}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle BAM=\angle CAD}$.

б) Диагонали трапеции ${\displaystyle ABCD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle O}$. Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AOB}$, если ${\displaystyle AB=\sqrt{10}}$, а ${\displaystyle BC=2BM}$.

В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $30°\text{},$ отрезки $AH$ и $AM$ $—$ высота
и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM.$ 
Отрезок $MQ$ $—$ высота треугольника $AMC,$ а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F\text{}.$ Известно, что луч $AM$ $—$ биссектриса угла $CAH\text{}.$

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CMF\text{},$ если $AB=8.$

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ высекает на всех сторонах трапеции ${\displaystyle ABCD}$ равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую
сторону ${\displaystyle AB}$ в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$ так, что ${\displaystyle AK=15}$, ${\displaystyle KL=6}$, ${\displaystyle LB=5}$.

В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $C{C}_1$ и биссектрисы $B{B}_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $\angle ABC=40°\text{},$ $\angle ACB=85°\text{}.$

а) Докажите, что $BM=CN.$

б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D.$ Найдите площадь треугольника $BDN,$ если его высота $BH$ равна 6.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ 
в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны.

б) Найдите отношение $AM:MC,$ если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны 4 и 9 соответственно.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $\angle MNK=90°\text{},$ $\angle LMN=\angle KLM=60°\text{}.$ 

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA=3.$

Пятиугольник ${\displaystyle ABCDE}$ вписан в окружность. Диагонали ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BE}$ пересекаются в точке ${\displaystyle M.}$ Известно, что ${\displaystyle BCDM}$ — параллелограмм.

а) Докажите, что ${\displaystyle BC=DE.}$ 

б) Найдите длину стороны ${\displaystyle AB,}$ если известно, что ${\displaystyle DE=\mathrm{4,}}$ ${\displaystyle AD=\mathrm{7,}}$ ${\displaystyle BE=8}$ и ${\displaystyle AB>BC.}$ 

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.