Треугольник — ОГЭ по математике — страница 41

Углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ равны соответственно ${\displaystyle 61°}$ и ${\displaystyle 89°}$.
Найдите ${\displaystyle BC}$, если радиус окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$, равен 10.

В остроугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ проведены высоты ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$. Докажите, что углы ${\displaystyle A{A}_1{C}_1}$ и ${\displaystyle AC{C}_1}$ равны.

Отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AB=16}$, а расстояния от центра окружности до хорд ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle CD}$ равны соответственно 15 и 8.

Окружность с центром на стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходит через вершину ${\displaystyle C}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle B}$. Найдите ${\displaystyle AC}$, если диаметр окружности равен 6,4, а ${\displaystyle AB=6}$.

Окружности с центрами в точках ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении ${\displaystyle m:n}$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как ${\displaystyle m:n}$.

Окружность с центром на стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходит через вершину ${\displaystyle C}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle B}$. Найдите ${\displaystyle AC}$, если диаметр окружности равен 15, а ${\displaystyle AB=4}$.

Биссектрисы углов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ при боковой стороне ${\displaystyle AB}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle F}$. Найдите ${\displaystyle AB}$, если ${\displaystyle AF=20}$, ${\displaystyle BF=15}$.

Отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle DC}$ лежат на параллельных прямых, а отрезки ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle M}$. Найдите ${\displaystyle MC}$, если ${\displaystyle AB=13}$, ${\displaystyle DC=65}$, ${\displaystyle AC=42}$.

Прямая, параллельная основаниям трапеции ${\displaystyle ABCD}$, пересекает её боковые стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ в точках ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно. Найдите длину
отрезка ${\displaystyle EF}$, если ${\displaystyle AD=45}$, ${\displaystyle BC=20}$, ${\displaystyle CF:DF=4:1}$.