Задание 37CCE6: Треугольник

1. Рассмотрим окружность с диаметром AC. Угол AA₁C прямой, так как AA₁ — высота; угол AC₁C тоже прямой, так как CC₁ — высота.

2. Точка, из которой диаметр виден под прямым углом, лежит на окружности. Поэтому точки A, C, A₁ и C₁ принадлежат одной окружности с диаметром AC.

3. Углы AA₁C₁ и ACC₁ являются вписанными и опираются на одну хорду AC₁. Их вершины расположены по одну сторону этой хорды: основания высот находятся на сторонах остроугольного треугольника. Поэтому вписанные углы равны, что и требовалось доказать.

Проверка: в построенной окружности обе пары лучей проходят через одни и те же концы хорды AC₁; условие об остроугольности обеспечивает нужное расположение оснований высот.

Ответ: Доказано.