Задание 19BB60: Треугольник

1. Пусть O — центр окружности, r — её радиус, а AC = x. Так как C лежит на окружности и O находится на AC, имеем AO = AC − OC = x − r.

2. Радиус OB перпендикулярен касательной AB, поэтому треугольник AOB прямоугольный. По теореме Пифагора (x − r)² = AB² + r². Раскрываем скобки и сокращаем r²: x² − 2rx = AB². Так как 2r — диаметр d, получаем x² − dx = AB².

3. При d = 15 и AB = 4 уравнение принимает вид x² − 15x − 16 = 0. Дискриминант равен 289, его корень равен 17. Корни: 16 и −1. Отрицательная длина невозможна, поэтому AC = 16.

Проверка: AC² − d · AC = 256 − 240 = 16 = AB². Радиус 7,5 положителен и меньше AC; центр лежит на указанной стороне.

Ответ: 16.