Задание 04B467: Треугольник

1. Обозначим T точку пересечения общей внутренней касательной с отрезком IJ, а U и V — точки касания с первой и второй окружностями. Радиусы IU и JV перпендикулярны общей касательной.

2. Треугольники IUT и JVT прямоугольные. Углы при T равны как вертикальные, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.

3. Из подобия IUJV = ITJT = mn. Значит, радиусы окружностей относятся как m:n. Диаметры вдвое больше радиусов; умножение обеих величин на 2 не меняет их отношения. Следовательно, диаметры относятся как m:n.

Проверка: сопоставлены радиусы как катеты напротив равных углов и расстояния от T до центров как гипотенузы. Отношение диаметров получено в том же порядке, что и отношение частей отрезка центров.

Ответ: Доказано.