Планиметрия — ЕГЭ по математике, профильный уровень — страница 2

Прямая, проходящая через вершину ${\displaystyle B}$ прямоугольника ${\displaystyle ABCD}$ перпендикулярно диагонали ${\displaystyle AC}$, пересекает сторону ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle M}$, равноудалённой от вершин ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle ABM=\angle DBС=30°}$.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой ${\displaystyle CM}$, если ${\displaystyle BC=9}$.

Дана трапеция ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$. Диагональ ${\displaystyle BD}$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle CD}$.

а) Докажите, что луч ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ биссектриса угла ${\displaystyle BAD}$.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если известны диагонали трапеции: ${\displaystyle AC=15}$ и ${\displaystyle BD=\mathrm{8,5}}$.

На сторонах ,  и  треугольника  отмечены точки ,  и  соответственно, причём , , . Отрезки  и  пересекаются в точке .

а) Докажите, что четырёхугольник  — параллелограмм.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если отрезки  и  перпендикулярны, , .

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что $TH=ME.$

б) Найдите длину отрезка $EK,$ если $AB=13$ и $AC=10.$ 

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=60°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=2\sqrt{3}}$.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписан в окружность радиуса ${\displaystyle R=8}$. Известно,
что ${\displaystyle AB=BC=CD=12}$.

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ параллельны.

б) Найдите ${\displaystyle AD}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $AH,$ $BN$ и $CK$ $—$ высоты. Известно, что $AK=\mathrm{1,}$ $BH=\mathrm{2,}$ а $\angle KNH=60°.$ 

а) Докажите, что $\angle ABC=60°.$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ 

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.

б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $AB=13$ и $AC=10.$ 

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в два раза больше основания ${\displaystyle BC}$. Внутри трапеции взяли точку ${\displaystyle M}$ так, что углы ${\displaystyle ABM}$ и ${\displaystyle DCM}$ прямые.

а) Докажите, что ${\displaystyle AM=DM}$.

б) Найдите угол ${\displaystyle BAD}$, если угол ${\displaystyle ADC}$ равен ${\displaystyle 70°}$, а расстояние от точки ${\displaystyle M}$ до прямой ${\displaystyle AD}$ равно стороне ${\displaystyle BC}$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $\angle MNK=90°\text{},$ $\angle NKL=\angle KLM=120°\text{}.$ 

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA=1.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle A}$ равен ${\displaystyle 120°}$. Прямые, содержащие высоты ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle CN}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекаются в точке ${\displaystyle H}$. Точка ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AH=AO}$.

б) Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AHO}$, если ${\displaystyle BC=\sqrt{15}}$, ${\displaystyle \angle ABC=45°}$.

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает продолжение стороны ${\displaystyle AD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle E}$ и пересекает продолжение стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle K}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle BK=BE}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle KE:AC}$, если ${\displaystyle \angle BAD=30°}$.