Все задания — ОГЭ по математике — страница 237

На средней линии трапеции ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ выбрали произвольную точку ${\displaystyle K}$. Докажите, что сумма площадей треугольников ${\displaystyle BKC}$ и ${\displaystyle AKD}$ равна половине площади трапеции.

Решите систему уравнений ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x^2+3y^2=\mathrm{11,}\\ 4x^2+6y^2=11x.\end{array}}$

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 140 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Через точку ${\displaystyle O}$ пересечения диагоналей параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$ проведена прямая, пересекающая стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ соответственно. Докажите, что отрезки ${\displaystyle BP}$ и ${\displaystyle DQ}$ равны.

В остроугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ проведены высоты ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$. Докажите, что углы ${\displaystyle B{B}_1{A}_1}$ и ${\displaystyle BA{A}_1}$ равны.