Задание 1B07A7: Треугольник

1. Рассмотрим окружность с диаметром AB. Угол AA₁B прямой, так как AA₁ — высота; угол AB₁B тоже прямой, так как BB₁ — высота.

2. Точка, из которой диаметр виден под прямым углом, лежит на окружности. Поэтому точки A, B, A₁ и B₁ принадлежат одной окружности с диаметром AB.

3. Углы BB₁A₁ и BAA₁ являются вписанными и опираются на одну хорду BA₁. Их вершины расположены по одну сторону этой хорды: основания высот находятся на сторонах остроугольного треугольника. Поэтому вписанные углы равны, что и требовалось доказать.

Проверка: в построенной окружности обе пары лучей проходят через одни и те же концы хорды BA₁; условие об остроугольности обеспечивает нужное расположение оснований высот.

Ответ: Доказано.