Задание F821AB: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
2x²+3y²=11;
4x²+6y²=11x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 2. Умножим всё первое равенство на 2 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−11x + 22 = 0.
Отсюда −11x = −22, поэтому x = −22−11 = 2.

3. Подставим x = 2 в первое уравнение:
2 · (2)² + 3y² = 11.
3y² = 11 − 8 = 3.
y² = 1 = 1², поэтому y = −1 или y = 1. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (2; −1):
2(2)²+3(−1)² = 11, 11 = 11;
4(2)²+6(−1)² = 22, 11(2) = 22.
Пара (2; 1):
2(2)²+3(1)² = 11, 11 = 11;
4(2)²+6(1)² = 22, 11(2) = 22.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (2; −1); (2; 1).