Окружность и круг — ОГЭ по математике — страница 32

Окружности с центрами в точках ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ пересекаются в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, причём точки ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle AB}$. Докажите,
что прямые ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle IJ}$ перпендикулярны.

Углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ равны соответственно ${\displaystyle 61°}$ и ${\displaystyle 89°}$.
Найдите ${\displaystyle BC}$, если радиус окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$, равен 10.

Отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AB=16}$, а расстояния от центра окружности до хорд ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle CD}$ равны соответственно 15 и 8.

Окружность с центром на стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходит через вершину ${\displaystyle C}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle B}$. Найдите ${\displaystyle AC}$, если диаметр окружности равен 6,4, а ${\displaystyle AB=6}$.

Окружности с центрами в точках ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении ${\displaystyle m:n}$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как ${\displaystyle m:n}$.

Окружность с центром на стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходит через вершину ${\displaystyle C}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle B}$. Найдите ${\displaystyle AC}$, если диаметр окружности равен 15, а ${\displaystyle AB=4}$.

Углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ равны соответственно ${\displaystyle 66°}$ и ${\displaystyle 84°}$.
Найдите ${\displaystyle BC}$, если радиус окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$, равен 15.

Окружность с центром на стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходит через вершину ${\displaystyle C}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle B}$. Найдите диаметр окружности, если ${\displaystyle AB=3}$, ${\displaystyle AC=5}$.

Окружности с центрами в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ пересекаются в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$, причём точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle KL}$. Докажите,
что прямые ${\displaystyle PQ}$ и ${\displaystyle KL}$ перпендикулярны.