Геометрия — ОГЭ по математике — страница 122

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ со сторонами ${\displaystyle AB=11}$ и ${\displaystyle CD=41}$ вписан
в окружность. Диагонали ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K}$,
причём ${\displaystyle \angle AKB=60°}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ биссектриса угла ${\displaystyle A}$ делит высоту, проведённую
из вершины ${\displaystyle B}$, в отношении ${\displaystyle 13:12}$, считая от точки ${\displaystyle B}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$, если ${\displaystyle BC=10}$.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ биссектриса угла ${\displaystyle A}$ делит высоту, проведённую
из вершины ${\displaystyle B}$, в отношении ${\displaystyle 5:4}$, считая от точки ${\displaystyle B}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$, если ${\displaystyle BC=18}$.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь
равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ биссектриса ${\displaystyle BE}$ и медиана ${\displaystyle AD}$ перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ боковая сторона ${\displaystyle AB}$ перпендикулярна основанию ${\displaystyle BC}$. Окружность проходит через точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle E}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle E}$ до прямой ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AD=20}$, ${\displaystyle BC=10}$.

В параллелограмме ${\displaystyle ABCD}$ проведена диагональ ${\displaystyle AC}$. Точка ${\displaystyle O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC}$. Расстояния от точки ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle A}$ и прямых ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$.

Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ лежат на первой окружности, точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle —}$ на второй. При этом ${\displaystyle AC}$ 
и ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle —}$ общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основания ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ равны соответственно 32 и 4,
а сумма углов при основании ${\displaystyle AD}$ равна ${\displaystyle 90°}$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ и касающейся прямой ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AB=14}$.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь
равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Биссектрисы углов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K}$. Найдите площадь параллелограмма, если ${\displaystyle BC=17}$, а расстояние от точки ${\displaystyle K}$ до стороны ${\displaystyle AB}$ равно 10.

Середина ${\displaystyle M}$ стороны ${\displaystyle AD}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle BC=12}$, а углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ четырёхугольника равны соответственно ${\displaystyle 115°}$ и ${\displaystyle 95°}$.