Задание 1EE527: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 1804 = 45, a + b = 90. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 162045 = 36.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √2025 − 1296 = 27. Тогда b = c − x = 18, a = c + x = 72.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 36 · 1890 = 7,2.

Проверка: основания 72 и 18 вместе с двумя сторонами 45 дают периметр 180; полусумма оснований, умноженная на высоту 36, даёт площадь 1620.

Ответ: 7,2.