Задание F311D0: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 404 = 10, a + b = 20. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 8010 = 8.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √100 − 64 = 6. Тогда b = c − x = 4, a = c + x = 16.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 8 · 420 = 1,6.

Проверка: основания 16 и 4 вместе с двумя сторонами 10 дают периметр 40; полусумма оснований, умноженная на высоту 8, даёт площадь 80.

Ответ: 1,6.