Задание A4192E: Окружность и круг

1. Пусть E — точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной AC. Тогда OE ⟂ AC, OE = r. Из прямоугольного треугольника AOE находим длину касательной AE.

2. AE = √AO² − OE² = √625 − 49 = 24. Расстояние от O до BC тоже равно r. Так как BC ∥ AD и O лежит между этими прямыми, высота параллелограмма H = d + r = 14 + 7 = 21.

3. Обозначим BC через a, а AE через x. Равенство отрезков касательных из каждой вершины даёт AB + AC = BC + 2x. Значит, полупериметр треугольника ABC равен p = a + x.

4. Вычислим его площадь двумя способами: Sт = aH2 и Sт = rp = r(a + x). Следовательно, a(H − 2r) = 2rx, откуда a = 2rxd − r.

5. BC = 2 · 7 · 2414 − 7 = 48. Искомая площадь параллелограмма S = BC · H = 48 · 21 = 1008.

Проверка: половина площади равна 504, и r(BC + AE) = 7 · (48 + 24) = 504. Также AE² + r² = 625 = AO².

Ответ: 1008.