Задание 42942C: Геометрические фигуры и их свойства

1. Обозначим BH высоту из B, где H лежит на прямой AC, а M — точку её пересечения с биссектрисой угла A. По условию BM : MH = 13 : 12, причём M лежит между B и H. Поэтому луч AH совпадает с AC, а угол A острый: в прямоугольном треугольнике ABH биссектриса из A проходит через M.

2. По теореме о биссектрисе в треугольнике ABH имеем AB : AH = BM : MH = 13 : 12. Следовательно, cos A = AHAB = 1213.

3. Найдём синус по основному тригонометрическому тождеству. Так как угол A острый, синус положителен:

sin A = √1 − cos² A = √13² − 12²13 = √2513 = 513.

4. По расширенной теореме синусов BC = 2R sin A, где R — радиус описанной окружности. Отсюда R = BC2 sin A.

Подставляем: R = 10 · 132 · 5 = 13.

Проверка: 2R sin A = 2 · 13 · 513 = 10 = BC. Также 12² + 5² = 13², поэтому найденные синус и косинус удовлетворяют основному тождеству.

Ответ: 13.