Задание 8C4A28: Окружность и круг

1. Продлим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке T за меньшим основанием BC. Сумма углов при основании AD равна 90°, поэтому в треугольнике ATD угол T прямой: TA ⟂ TD.

2. Из BC ∥ AD следует подобие треугольников TBC и TAD. Поэтому TBTA = BCAD = 432. Кроме того, TA − TB = AB = 14.

3. Отсюда TA = AB · ADAD − BC = 16, TB = TA − AB = 2.

4. Пусть K — центр искомой окружности, H — середина хорды AB. Прямая KH перпендикулярна AB. Поскольку TA перпендикулярна TD, прямая KH параллельна TD, и расстояние от K до прямой CD равно TH. При касании это расстояние равно радиусу R.

5. Точка B лежит между T и A, поэтому R = TH = TA + TB2 = 16 + 22 = 9.

Проверка: TA − TB = 14 = AB, и отношение TB:TA совпадает с BC:AD. Кроме того, R² − AH² = 32 = TA · TB положительно, поэтому положение центра и касание возможны.

Ответ: 9.