Геометрия — ОГЭ по математике — страница 110

Прямая, параллельная стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекает
стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно. Найдите ${\displaystyle BN}$,
если ${\displaystyle MN=22}$, ${\displaystyle AC=55}$, ${\displaystyle NC=36}$.

Окружности с центрами в точках ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ пересекаются в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, причём точки ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle AB}$. Докажите,
что прямые ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle IJ}$ перпендикулярны.

Углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ равны соответственно ${\displaystyle 61°}$ и ${\displaystyle 89°}$.
Найдите ${\displaystyle BC}$, если радиус окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$, равен 10.

В остроугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ проведены высоты ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$. Докажите, что углы ${\displaystyle A{A}_1{C}_1}$ и ${\displaystyle AC{C}_1}$ равны.

Отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AB=16}$, а расстояния от центра окружности до хорд ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle CD}$ равны соответственно 15 и 8.

Окружность с центром на стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходит через вершину ${\displaystyle C}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle B}$. Найдите ${\displaystyle AC}$, если диаметр окружности равен 6,4, а ${\displaystyle AB=6}$.