Числа и их свойства — ЕГЭ по математике, профильный уровень — страница 3

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

В школах ${\displaystyle №}$1 и ${\displaystyle №}$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы ${\displaystyle №}$1 в школу ${\displaystyle №}$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 уменьшился на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 равняться 7?

в) Средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 уменьшился на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе ${\displaystyle №}$2.

Из пары натуральных чисел $\left(a;b\right)$ за один ход можно получить пару $\left(a+2;b-1\right)$ или $\left(a-1;b+2\right)$ при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $\left(5;7\right)$.

а) Можно ли за 50 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 100?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 400?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 100?

Для чисел $A$ и $B,$ состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют
$S$ $—$ сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A=123$ и $B=579$ получается сумма $S=1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9=46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S=200$?

б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S=320$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой $S$ 
для некоторых пятизначных чисел $A$ и $B$?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-60.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?

б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел
из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число  и его квадрат  Найдите наименьшее возможное значение

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.

а) Может ли $N$ быть равным 360?

б) Может ли $N$ быть равным 149?

в) Найдите наибольшее значение $N.$

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-45.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?

б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше ${\displaystyle 1395=3+6+\dots +90}$, если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала ${\displaystyle m}$ фотографий, а Наташа ${\displaystyle —}$ 
${\displaystyle n}$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа
за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?