Геометрия — ОГЭ по математике — страница 124

Середина ${\displaystyle M}$ стороны ${\displaystyle AD}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle BC=6}$, а углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ четырёхугольника равны соответственно ${\displaystyle 124°}$ и ${\displaystyle 116°}$.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ со сторонами ${\displaystyle AB=39}$ и ${\displaystyle CD=6}$ вписан
в окружность. Диагонали ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K}$,
причём ${\displaystyle \angle AKB=60°}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ боковая сторона ${\displaystyle AB}$ перпендикулярна основанию ${\displaystyle BC}$. Окружность проходит через точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle E}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle E}$ до прямой ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AD=12}$, ${\displaystyle BC=9}$.

На стороне ${\displaystyle BC}$ остроугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle AD=45}$, ${\displaystyle MD=15}$,
${\displaystyle H}$ ${\displaystyle —}$ точка пересечения высот треугольника ${\displaystyle ABC}$. Найдите ${\displaystyle AH}$.

Углы при одном из оснований трапеции равны ${\displaystyle 39°}$ и ${\displaystyle 51°}$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания трапеции.

В параллелограмме ${\displaystyle ABCD}$ проведена диагональ ${\displaystyle AC}$. Точка ${\displaystyle O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC}$. Расстояния от точки ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle A}$ и прямых ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь
равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Середина ${\displaystyle M}$ стороны ${\displaystyle AD}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle BC=10}$, а углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ четырёхугольника равны соответственно ${\displaystyle 112°}$ и ${\displaystyle 113°}$.

В параллелограмме ${\displaystyle ABCD}$ проведена диагональ ${\displaystyle AC}$. Точка ${\displaystyle O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC}$. Расстояния от точки ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle A}$ и прямых ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$.

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ лежат на первой окружности, точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle —}$ на второй. При этом ${\displaystyle AC}$ 
и ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle —}$ общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ известны длины сторон ${\displaystyle AB=36}$, ${\displaystyle AC=54}$, точка ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$. Прямая ${\displaystyle BD}$, перпендикулярная прямой ${\displaystyle AO}$, пересекает сторону ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle D}$.
Найдите ${\displaystyle CD}$.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ боковая сторона ${\displaystyle AB}$ перпендикулярна основанию ${\displaystyle BC}$. Окружность проходит через точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle E}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle E}$ до прямой ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AD=20}$, ${\displaystyle BC=15}$.