Задание 8A2B5A: Треугольник

1. Обозначим T точку пересечения прямых AB и CD. Основания не равны, поэтому эти прямые пересекаются. Так как AD больше BC, на прямой CD точка C находится между T и D. Пусть F — основание перпендикуляра из E на CD, а EF = h.

2. Треугольники TBC и TAD прямоугольные и имеют общий угол при T, поэтому подобны. Отсюда TDTC = ADBC. По теореме о касательной и секущей TE² = TC · TD.

3. Обозначим меньший угол между прямыми AB и CD через α. Из прямоугольного треугольника TBC получаем sin α = BCTC. Расстояние от E до прямой CD равно h = TE sin α, независимо от того, на каком луче прямой AB находится E.

4. Возводим равенство в квадрат и подставляем произведение секущих: h² = TE² · BC²TC² = TDTC · BC² = AD · BC. Поэтому h = √12 · 9 = 6√3.

Проверка: h² = 108 = 12 · 9. Получена положительная длина перпендикуляра к прямой CD; положение его основания на самой стороне не требуется.

Ответ: 6√3.