Задание B706A4: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 2204 = 55, a + b = 110. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 242055 = 44.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √3025 − 1936 = 33. Тогда b = c − x = 22, a = c + x = 88.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 44 · 22110 = 8,8.

Проверка: основания 88 и 22 вместе с двумя сторонами 55 дают периметр 220; полусумма оснований, умноженная на высоту 44, даёт площадь 2420.

Ответ: 8,8.