Задание 1B79A1: Треугольник

1. Точка M равноудалена от всех вершин, значит она является центром окружности, проходящей через A, B, C, D. Так как M — середина AD, сторона AD является диаметром этой окружности.

2. Углы ABD и ACD опираются на диаметр, поэтому равны 90°. Диагональ AC проходит внутри угла BCD выпуклого четырёхугольника, откуда ∠BCA = ∠BCD − ∠ACD.

3. Получаем ∠BCA = 113° − 90° = 23°. В треугольнике ABC угол BAC = 180° − 112° − 23° = 45°.

4. По расширенной теореме синусов BC = 2R sin∠BAC. Диаметр AD = 2R, поэтому AD = BCsin∠BAC = 10√22 = 10√2.

Проверка: AD · sin 45° = 10√2 · √22 = 10 = BC; выбранная окружность имеет центр в середине AD, как требует условие.

Ответ: 10√2.