Геометрия — ОГЭ по математике — страница 111

На средней линии трапеции ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ выбрали произвольную точку ${\displaystyle E}$. Докажите, что сумма площадей треугольников ${\displaystyle BEC}$ и ${\displaystyle AED}$ равна половине площади трапеции.

Окружности с центрами в точках ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении ${\displaystyle m:n}$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как ${\displaystyle m:n}$.

Окружность с центром на стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходит через вершину ${\displaystyle C}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle B}$. Найдите ${\displaystyle AC}$, если диаметр окружности равен 15, а ${\displaystyle AB=4}$.

Биссектрисы углов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ при боковой стороне ${\displaystyle AB}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle F}$. Найдите ${\displaystyle AB}$, если ${\displaystyle AF=20}$, ${\displaystyle BF=15}$.

Отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle DC}$ лежат на параллельных прямых, а отрезки ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle M}$. Найдите ${\displaystyle MC}$, если ${\displaystyle AB=13}$, ${\displaystyle DC=65}$, ${\displaystyle AC=42}$.

Прямая, параллельная основаниям трапеции ${\displaystyle ABCD}$, пересекает её боковые стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ в точках ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно. Найдите длину
отрезка ${\displaystyle EF}$, если ${\displaystyle AD=45}$, ${\displaystyle BC=20}$, ${\displaystyle CF:DF=4:1}$.

Высота ${\displaystyle AH}$ ромба ${\displaystyle ABCD}$ делит сторону ${\displaystyle CD}$ на отрезки ${\displaystyle DH=8}$ и ${\displaystyle CH=2}$. Найдите высоту ромба.

Биссектриса угла ${\displaystyle A}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$ пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ 
в точке ${\displaystyle K}$. Найдите периметр параллелограмма, если ${\displaystyle BK=5}$, ${\displaystyle CK=14}$.