Задание ED59E0: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 5; y = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
25 = 5².
Для основания 5: −2 = −2.
Для основания x: 4 = 4.
Для основания y: 8 = 8.
Подкоренное выражение равно x⁴ · y⁸25.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
x⁴ · y⁸25 = (x² · y⁴5)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |x² · y⁴5|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
4005 = 80.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 160000, знаменатель — 25. Их отношение: 16000025 = 6400.
Получено 6400. Квадрат найденного неотрицательного числа: 80² = 6400. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 80.

Ответ: 80.