Задание 64F1EC: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 2; y = 3. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
4 = 2².
Для основания 2: −2 = −2.
Для основания x: 8 = 8.
Для основания y: 4 = 4.
Подкоренное выражение равно x⁸ · y⁴4.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
x⁸ · y⁴4 = (x⁴ · y²2)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |x⁴ · y²2|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
1442 = 72.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 20736, знаменатель — 4. Их отношение: 207364 = 5184.
Получено 5184. Квадрат найденного неотрицательного числа: 72² = 5184. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 72.

Ответ: 72.