Задание C540E6: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 5 − 4 = 1.
Для основания 3: 5 − 3 = 2.
После сокращения получаем 2 · 3².
2 · 3² = 18.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 7776, знаменатель — 432. Их отношение: 7776432 = 18.
Получено то же значение 18. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 18.