Задание D4F24A: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 2; y = 5. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
16 = 2⁴.
Для основания 2: −4 = −4.
Для основания x: 6 = 6.
Для основания y: 4 = 4.
Подкоренное выражение равно x⁶ · y⁴16.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
x⁶ · y⁴16 = (x³ · y²4)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |x³ · y²4|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
2004 = 50.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 40000, знаменатель — 16. Их отношение: 4000016 = 2500.
Получено 2500. Квадрат найденного неотрицательного числа: 50² = 2500. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 50.

Ответ: 50.