Задание D32446: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
9 = 3².
(9⁷)⁻¹ = 9⁻⁷.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 3: −12 + 30 − 14 = 4.
После сокращения получаем 3⁴.
3⁴ = 81.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 205891132094649, знаменатель — 2541865828329. Их отношение: 2058911320946492541865828329 = 81.
Получено то же значение 81. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 81.