Задание 238A42: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 3 + 37 = 3 · 7 + 37 = 247; b = 17. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² + 8 · a · b + 16 · b² = (a + 4 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² + 8 · a · b + 16 · b² = |a + 4 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
47 + 247 = 4.
Получаем |4| = 4.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 57649; 8 · a · b = 19249; 16 · b² = 1649.
Сумма этих трёх слагаемых равна 16. 4² = 16, причём 4 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 4.