Задание 7AC43C: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 14 + 613 = 14 · 13 + 613 = 18813; b = 413. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² + 10 · a · b + 25 · b² = (a + 5 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² + 10 · a · b + 25 · b² = |a + 5 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
2013 + 18813 = 16.
Получаем |16| = 16.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 35344169; 10 · a · b = 7520169; 25 · b² = 400169.
Сумма этих трёх слагаемых равна 256. 16² = 256, причём 16 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 16.