Задание 7B0438: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 10; y = 5. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
25 = 5².
(y⁶)⁻¹ = y⁻⁶.
Для основания 5: 2 = 2.
Для основания x: 4 = 4.
Для основания y: −6 = −6.
Подкоренное выражение равно 25 · x⁴y⁶.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
25 · x⁴y⁶ = (5 · x²y³)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |5 · x²y³|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
500125 = 4.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 250000, знаменатель — 15625. Их отношение: 25000015625 = 16.
Получено 16. Квадрат найденного неотрицательного числа: 4² = 16. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 4.

Ответ: 4.