Задание 757031: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 2; y = 4. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
16 = 2⁴.
(y⁶)⁻¹ = y⁻⁶.
Для основания 2: 4 = 4.
Для основания x: 8 = 8.
Для основания y: −6 = −6.
Подкоренное выражение равно 16 · x⁸y⁶.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
16 · x⁸y⁶ = (4 · x⁴y³)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |4 · x⁴y³|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
6464 = 1.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 4096, знаменатель — 4096. Их отношение: 40964096 = 1.
Получено 1. Квадрат найденного неотрицательного числа: 1² = 1. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 1.

Ответ: 1.