Задание 3687E2: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 3. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a⁵)⁻³ = a⁻¹⁵.
(a⁻¹⁹)⁻¹ = a¹⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: −15 + 19 = 4.
После сокращения получаем a⁴.
При подстановке: 3⁴ = 81.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 1162261467, знаменатель — 14348907. Их отношение: 116226146714348907 = 81.
Получено то же значение 81. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 81.